عملیات مقدماتی در مجموعه ها

با نگاهی به بخشهای قبلی دانستیم که هر مجموعه اعضایی دارد و زیر مجموعه ، یک مجموعه مرجع است ، هر مجموعه متممی دارد و غیره

اکنون این سوال مطرح می شود که آیا می تواند بین 2 یا بیشتر از 2 مجموعه ، ارتباطی ایجاد کرد ، و یا ترکیباتی با هم ایجاد کرد مثلا آیا می توان مجموعه ها را با هم ادغام کرد و یا از هم کم کرد و یا نقاط مشترک بین مجموعه ها را پیدا کرد . برای جواب به این سوال باید چند عمل مقدماتی در مجموعه ها را شرح دهیم

اعمال مقدماتی در مجموعه ها عبارتند از : 1-اجتماع 2-اشتراک 3-تفریق یا تفاضل

1-اجتماع مجموعه ها :

اجتماع دو مجموعه A , B   را بصورت   A    نمایش می دهند و بصورت زیر تعریف می کنیم

اگر عضوهای دو مجموعه A و B را در مجموعهٔ دیگری بریزیم  .  مجموعه جدیدی بدست می آید که هر عضو آن به مجموعه   A   یا مجموعه B  یا هم به A  و هم به B  تعلق دارد .

یعنی x یا متعلق به مجموعه A  است یا متعلق به مجموعه B است یا متعلق به هر دو مجموعه است .

در زیر نمودار ون اجتماع  چند مجموعه را نمایش می دهیم

الف-اجتماع دو مجموعه متداخل

مثلا مجموعه A زیر مجموعه مجموعه B  است همانطور که از شکل واضح است

نتیجه برابر مجموعه B  خواهد بود . یعنی اجتماع این دو مجموعه برابر مجموعه بزرگتر B  است .

ب- اجتماع دو مجموعه متقاطع : به دو مجموعه متقاطع می گوییم هر گاه دارای عناصر مشترک باشند مانند نمودار ون زیر  اجتماع دو مجموعه متقاطع برابر ، برابر تمام اعضای A  و تمام اعضای  B به اضافه عناصر مشترک هر دو مجموعه است.

اکنون برای درک مفاهیم بالا چند مثال حل می کنیم    . علاوه بر این ویژگیهای اجتماع دو مجموعه را با مثال بررسی می کنیم .

از این پس می توانید مطالب وبلاگ را از سایت http://math2easy.com پی گیری کنید

پوستر اتحادهای جبری

پوستر اتحادهای جبری می تواند به عنوان زمینه صفحه رایانه استفاده شود که در هر بار باز شدن رایانه باعث یادآوری نکاتی شود این اولین قسمت از سری پوسترهای ریاضی خواهد بود

دانلود فایل پوستر

نمایش هندسی مجموعه ها و زیر مجموعه ها

همه ما می دانیم که یک تصویر گاهی می تواند بهتر از یک کتاب ، گویا تر باشد . در ریاضیات تصویر نقش مهمی را ایفا می کند .در نظریه مجموعه ها نیز نمایش هندسی نقش مهمی را ایفا می کند ، یکی از این اشکال ((نمودار ون )) است .

نمودارهای ون، مدلهایی شهودی در نظریه مجموعه‌ها هستند که برای نمایش روابط منطقی و ریاضی بین دو مجموعه به کار می‌روند. یک نمودار ون همه روابط منطقی بین مجموعه‌ها را نشان می‌دهد. این نمودارها نخستین بار توسط جان ون، فیلسوف و ریاضیدان انگلیسی در سال 1881 معرفی شدند. در این نمودارها مجموعه‌ها به صورت منحنی‌های بسته مشخص می‌شوند. در شکل‌ها زیر نمودار ون را برای دو مجموعه مشاهده می‌کنید. به تعداد منحنی‌های بسته‌ای که در نمودار ون به کار می‌رود مرتبه نمودار ون می‌گوییم

مثالی دیگر :

مجموعه اعداد طبیعی N را در نظر می‌گیریم. همچنین مجموعه A را به شکل روبرو داریم: {2,4,6,...,10,12,...}

مجموعه A زیرمجموعه‌ای از اعداد طبیعی خواهد بود. یعنی هر عضو از A تواماً عضوی از N نیز به حساب می‌آید. به بیانی دیگر، عضوهای A از بین اعضای N انتخاب شده‌اند. پس می‌توانیم  N را مجموعه مرجعی برای A بدانیم.بنابر این:

هر مجموعه را می‌توان مجموعه مرجعی برای تمام زیرمجموعه‌هایش خواند.

به عبارتی دیگر اگر مجموعه ای داشته باشیم که سرگروه و یا تمامی مجموعه ها ، زیر مجموعه آن باشند، آن مجموعه را مجموعه مرجع می نامیم و با نماد M   نمایش می دهیم .

متاسفانه مجموعه مرجع در ریاضی نیز جز مفاهیم تعریف نشده است ، و تعریف آن یک تعریف نسبی است مانند مثال بالا .

 نکته: مجموعه‌ای بسیار بزرگ و یکتا به نام مجموعه مرجع می‌تواند وجود وجود داشته باشد که در برگیرنده تمام مجموعه و همه اشیا بدون قید و شرط باشد.مجموعه مرجع جز فرضیات پذیرفته شده است ، همچنین یک مفهوم نسبی است ، یعنی نسبت به فضای مجموعه مقایسه می شود

چند مثال :

اگر A  مجموعه دانشجویان دانشکده ریاضی دانشگاه تهران باشد آنگاه M  مجموعه مرجع برابر است با تمام دانشجویان دانشگاه تهران

اگر A  مجموعه اعداد {1و2و5و5و9و7و1و547} باشد مجموعه مرجع می تواند تمام اعداد طبیعی باشد .

اکنون که با مفهوم جزییت و زیر مجموعه ها و مجموعه مرجع آشنا شدیم ، سوالی مطرح می شود که چند نوع زیر مجموعه وجود دارد . در جواب باید گفت 2 نوع .

ویژگیهای تساوی دو مجموعه :

1-هر مجموعه با خودش مساوی است

2-ترتیب تساوی مجموعه ها مهم نیست یعنی اگر A=B  باشد آنگاه B=A نیز می باشد

سوالی دیگر : هر مجموعه می تواند از اعضای خود زیر مجموعه هایی داشته باشد ، سوال این است که هر مجموعه چند زیر مجموعه می تواند داشته باشد ؟

برای جواب به این سوال باید اصل مجموعه توانی را مطرح کنیم ؟

اگر {A={a,b,c یک مجموعه باشد در این صورت زیرمجموعه‌های A عبارت‌اند از:

{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},{ }

نظریه مجموعه ها بخش 1

همه ما در زندگی روز مره خود عباراتی مانند مجموعه دوستان شخصی ، مجموعه همکلاسهای خودم و غیره بکار می بریم ، می دانیم که برخی از جمله ها می تواند واضح و گویا باشد و برخی کاملا مبهم.

مثلا اگر بگوییم مجموعه همکلاسیها ، این جمله یک جمله مبهمی است و نمی تواند بیانگر مجموعه ای باشد . اما اگر بگوییم مجموعه همکلاسیهای احمد ، این جمله یک جمله قابل قبول و مفهمو م است ، چرا که بیانگر مجموعه ای  مشخص و خوش تعریف است .

با این مقدمه این سوال برای ما مطرح می شود که مجموعه چیست ، و به چه چیزی مجموعه گفته می شود ،عناصر مجموعه چه چیزهایی هستند و غیره .

مفهوم و تعریف مجموعه

مجموعه در ریاضیات جز مفاهیم تعریف ناپذیر است ، ولی درک و فهم آن بسیار ساده است ، همانطور که گفتم مفهوم مجموعه افراد خانواده و یا مجموعه افراد یک کلاس را همه به خوبی می دانند ، با این وجود ریاضیدانان با هم توافق کرده اند که تعریفی بصورت زیر برای مجموعه ارایه دهند .

مجموعه کلکسیونی از اشیا خوشتریف و متمایز است که در حکم یک شی واحد تلقی می شوند . تعریف ساده تر دیگر به این شکل است

به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء خوشتعریف دو به دو متمایز گفته می‌شود. این اشیاء، عضوها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شود.

اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشد. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابر این منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایه آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.

اگر به تعریف مجموعه دقت کرده باشید ، حتما واژه خوشتعریف برای شما سوال برانگیز است ، که چرا باید اشیا مجموعه خوشتعریف باشند و منظور از خوشتعریف چیست ؟

منظور از خوشتعریف این است که عناصر مجموعه باید مشخص و اشیا معین و خاص باشند ، برای بهتر  روشن  شدن مطلب مثال می آوریم ، دو مجموعه داریم ، مجموعه اول ، مجموعه استانهای ایران است و اما مجموعه دوم مجموعه افراد شاغل

خوب مجموعه اول کاملا مخشص و روشن است چرا که عناصر آن مشخص هستند ، اما مجموعه دوم را نمی توان براحتی مشخص کرد و عناصر آن واضح و روشن و خوشتعریف نیست ، بنابراین می توان گفت ، مهمترین اصل هر مجموعه خوش تعریف بودن اعضای آن مجموعه است .

نمایش یک مجموعه

اکنون که با مفهوم مجموعه آشنا شدیم ، باید با نحوه نمایش مجموعه آشنا شویم .

معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. و اگر عناصر آن محدود باشند در میان دو کروشه یکایک آنها را نام ببریم مانند:

{احمد ، علی ، اکبر} = A

      B= { 1,2,3,4,5,6}

این نوع نمایش مجموعه ها را نمایش تفصیلی می نامند ، اما این حالت فقط برای زمانی مناسب است که اعضای ما محدود باشد ، اما اگر اعضای ما نا محدود باشد باید از نمایش توصیفی استفاده کرد مانند :

مجموعه اعدا زوج  { x   زوج است   A={x|

مجموعه A  نمایش دهنده کلیه اعداد زوج است به این شکل خوانده می شوند

A  برابر تمام x ها که x نمایش دهنده عدد است بطوری که x  عدد زوج است .

{L={X| x<10000

در اینجا L   نمایش دهنده کلیه اعداد x  بطوریکه x  کوچکتر از 10000 است .

مطلب اخیر باعث می‌شود، برخی اصل موضوع مجموعه تهی را به عنوان یک قضیه و نه یک اصل قبول کنند. در این شیوه استدلال فرض وجود حداقل یک مجموعه پذیرفته شده است و لذا می‌توان وجود مجموعه تهی را به عنوان قضیه نشان داد.

مجموعه تک عضوی

اگر مجموعه یک عضو داشته باشد ،آن را مجموعه تک عضوی می نامند ،مثلا مجموعه پایتختهای ایران ، خوب مشخص است که این مجموعه فقط یک عضو دارد و آن هم تهران است .

برابری دو مجموعه

دو مجموعه مفروض A و B باهم برابر هستند هرگاه دقیقا عضوهایشان یکسان باشد. به بیان دیگر هر عضو دلخواه در مجموعه A در مجموعه B باشد و هر عضو دلخواه در B در مجموعه A موجود باشد

بنابراین مجموعه به صورت کامل با اعضایش مشخص می‌شود. به عنوان مثال مجموعه اعداد 2,3,5 با مجموعه تمام اعداد اول کوچکتر از 6 برابر است. اگر A و B دو مجموعه برابر باشند می نویسیم: A=B

نکته مهم:

در نمایش عضوهای یک مجموعه ترتیب اعضا اهمیت ندارد و لذا: {b,a}={a,b}

در نمایش مجموعه‌ها تکرار اعضا در مجموعه تغییر ایجاد نمی‌کند و مجموعه جدیدی را ایجاد نمی‌کند. به عنوان مثال: {a,b}={a,b,b}={a,a,b}

مجموعه مرجع

در هر بحث خاص مجموعه همه عناصر مورد بحث را عضو یک مجموعه کلی می گیریم و به آن مجموعه جهانی(Universal set) یا مرجع(عام) می گوییم. توجه به این نکته لازم است که مجموعه جهانی را نباید به عنوان مجموعه‌ای از همه مجموعه‌ها در نظر گرفت چرا که در ادامه متوجه می شویم که چنین مجموعه‌ای وجود ندارد

مجموعه های نا محدود

به مجموعه هایی گفته می شود که دارای اعضای نا محدود می باشد مانند مجموعه اعداد طبیعی که از 1 آغاز می شود و تا بی نهایت ادامه دارد ولی ذکر یک نکته مهم است و آن این است که مجموعه دانه شن ها در ساحل دریا نمی تواند مجموعه نامحدود باشد زیرا که شمارش پذیر نیست

شمارش پذیر بودن مجموعه ها

به مجموعه های گفته می شود هر گاه عضوهای آن با اعداد طبیعی تناظر یک به یک داشته باشند

چرا شیب دو خط عمود بر هم برابر منفی یک -1 است ؟

چرا شیب دو خط عمود بر هم برابر منفی یک -1 است ؟

ما می خواهیم شیب دو خط عمود بر هم را در نقطه تقاطعشان بدست آوریم . می دانیم که شیب خط برابر است با میزان ارتفاع طی شده تقسیم بر مسافت طی شده افقی است . همچنین در مثلثات می دانیم که شیب یک خط افقی در واقع تانژانت زاویه خط با محور x  ها است . اکنون دو خط عمود بر هم را مطابق شکل زیر در نظر می گیریم :

شیب خط L1  برابر با تانژانت زاویه t1  است . و شیب خط L2  برابر با تانژانت زاویه t2  است . و داریم چون هر دو خط بر هم عمود هستند . پس

1 -                        t2=t1+90

همچنین از فرمولهای مثلثات داریم که تساوی زیر همیشه بر قرار است :

2-                        tan(90+x)=-cot(x)                  

شیب خط L1  برابر است با تانژانت زاویه t1  و شیب خط L2  برابر است با تانژانت زاویه t2  که بنا بر دو تساوی بالا خواهیم داشت :

tan(t2)=tan(t1+90)=-cot(t1)

حاصلضرب شیب دو خط عمود بر هم به صورت تساوی زیر :

tan(t1) * tan(t2) = tan(t1) * (-cot(t1)) = -1