نظریه مجموعه ها بخش 1

همه ما در زندگی روز مره خود عباراتی مانند مجموعه دوستان شخصی ، مجموعه همکلاسهای خودم و غیره بکار می بریم ، می دانیم که برخی از جمله ها می تواند واضح و گویا باشد و برخی کاملا مبهم.

مثلا اگر بگوییم مجموعه همکلاسیها ، این جمله یک جمله مبهمی است و نمی تواند بیانگر مجموعه ای باشد . اما اگر بگوییم مجموعه همکلاسیهای احمد ، این جمله یک جمله قابل قبول و مفهمو م است ، چرا که بیانگر مجموعه ای  مشخص و خوش تعریف است .

با این مقدمه این سوال برای ما مطرح می شود که مجموعه چیست ، و به چه چیزی مجموعه گفته می شود ،عناصر مجموعه چه چیزهایی هستند و غیره .

مفهوم و تعریف مجموعه

مجموعه در ریاضیات جز مفاهیم تعریف ناپذیر است ، ولی درک و فهم آن بسیار ساده است ، همانطور که گفتم مفهوم مجموعه افراد خانواده و یا مجموعه افراد یک کلاس را همه به خوبی می دانند ، با این وجود ریاضیدانان با هم توافق کرده اند که تعریفی بصورت زیر برای مجموعه ارایه دهند .

مجموعه کلکسیونی از اشیا خوشتریف و متمایز است که در حکم یک شی واحد تلقی می شوند . تعریف ساده تر دیگر به این شکل است

به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء خوشتعریف دو به دو متمایز گفته می‌شود. این اشیاء، عضوها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شود.

اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشد. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابر این منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایه آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.

اگر به تعریف مجموعه دقت کرده باشید ، حتما واژه خوشتعریف برای شما سوال برانگیز است ، که چرا باید اشیا مجموعه خوشتعریف باشند و منظور از خوشتعریف چیست ؟

منظور از خوشتعریف این است که عناصر مجموعه باید مشخص و اشیا معین و خاص باشند ، برای بهتر  روشن  شدن مطلب مثال می آوریم ، دو مجموعه داریم ، مجموعه اول ، مجموعه استانهای ایران است و اما مجموعه دوم مجموعه افراد شاغل

خوب مجموعه اول کاملا مخشص و روشن است چرا که عناصر آن مشخص هستند ، اما مجموعه دوم را نمی توان براحتی مشخص کرد و عناصر آن واضح و روشن و خوشتعریف نیست ، بنابراین می توان گفت ، مهمترین اصل هر مجموعه خوش تعریف بودن اعضای آن مجموعه است .

نمایش یک مجموعه

اکنون که با مفهوم مجموعه آشنا شدیم ، باید با نحوه نمایش مجموعه آشنا شویم .

معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. و اگر عناصر آن محدود باشند در میان دو کروشه یکایک آنها را نام ببریم مانند:

{احمد ، علی ، اکبر} = A

      B= { 1,2,3,4,5,6}

این نوع نمایش مجموعه ها را نمایش تفصیلی می نامند ، اما این حالت فقط برای زمانی مناسب است که اعضای ما محدود باشد ، اما اگر اعضای ما نا محدود باشد باید از نمایش توصیفی استفاده کرد مانند :

مجموعه اعدا زوج  { x   زوج است   A={x|

مجموعه A  نمایش دهنده کلیه اعداد زوج است به این شکل خوانده می شوند

A  برابر تمام x ها که x نمایش دهنده عدد است بطوری که x  عدد زوج است .

{L={X| x<10000

در اینجا L   نمایش دهنده کلیه اعداد x  بطوریکه x  کوچکتر از 10000 است .

مطلب اخیر باعث می‌شود، برخی اصل موضوع مجموعه تهی را به عنوان یک قضیه و نه یک اصل قبول کنند. در این شیوه استدلال فرض وجود حداقل یک مجموعه پذیرفته شده است و لذا می‌توان وجود مجموعه تهی را به عنوان قضیه نشان داد.

مجموعه تک عضوی

اگر مجموعه یک عضو داشته باشد ،آن را مجموعه تک عضوی می نامند ،مثلا مجموعه پایتختهای ایران ، خوب مشخص است که این مجموعه فقط یک عضو دارد و آن هم تهران است .

برابری دو مجموعه

دو مجموعه مفروض A و B باهم برابر هستند هرگاه دقیقا عضوهایشان یکسان باشد. به بیان دیگر هر عضو دلخواه در مجموعه A در مجموعه B باشد و هر عضو دلخواه در B در مجموعه A موجود باشد

بنابراین مجموعه به صورت کامل با اعضایش مشخص می‌شود. به عنوان مثال مجموعه اعداد 2,3,5 با مجموعه تمام اعداد اول کوچکتر از 6 برابر است. اگر A و B دو مجموعه برابر باشند می نویسیم: A=B

نکته مهم:

در نمایش عضوهای یک مجموعه ترتیب اعضا اهمیت ندارد و لذا: {b,a}={a,b}

در نمایش مجموعه‌ها تکرار اعضا در مجموعه تغییر ایجاد نمی‌کند و مجموعه جدیدی را ایجاد نمی‌کند. به عنوان مثال: {a,b}={a,b,b}={a,a,b}

مجموعه مرجع

در هر بحث خاص مجموعه همه عناصر مورد بحث را عضو یک مجموعه کلی می گیریم و به آن مجموعه جهانی(Universal set) یا مرجع(عام) می گوییم. توجه به این نکته لازم است که مجموعه جهانی را نباید به عنوان مجموعه‌ای از همه مجموعه‌ها در نظر گرفت چرا که در ادامه متوجه می شویم که چنین مجموعه‌ای وجود ندارد

مجموعه های نا محدود

به مجموعه هایی گفته می شود که دارای اعضای نا محدود می باشد مانند مجموعه اعداد طبیعی که از 1 آغاز می شود و تا بی نهایت ادامه دارد ولی ذکر یک نکته مهم است و آن این است که مجموعه دانه شن ها در ساحل دریا نمی تواند مجموعه نامحدود باشد زیرا که شمارش پذیر نیست

شمارش پذیر بودن مجموعه ها

به مجموعه های گفته می شود هر گاه عضوهای آن با اعداد طبیعی تناظر یک به یک داشته باشند