تابع یک به یک

تابع یک به یک

1-تعریف تابع از دیدگاه زوج مرتب :فرض کنید زوج مرتبی داریم از مجموعه A  به مجموعه B  ، این زوج مرتب را نمایش دهنده یک تابع یک به یک می گوییم هر گاه که مولفه های دوم زوجهای مرتب یکسان نباشند ،  و اگر یکسان باشند باید حتما مولفه های دوم نیز یکسان باشند .

مثال 1: تابع با زوج مرتب f={ (1,5),(3,6),(4,9)}  یک تابع یک به یک است . زیرا هیچ کدام از زوجهای مرتب دارای مولفه های دوم یکسان نیستند .

مثال 2:تابع با زوج مرتب f={(1,5),(3,6),(4,8),(3,6)}   یک تابع یک به یک است ، زیرا دو زوج مرتب که دارای  مولفه های دوم یکسان هستند ، مولفه های اول آنها نیز یکسان است .

2-تعریف تابع یک به یک از دیدگاه نمودار ون :از دیدگاه نمودار ون تابعی یک به یک است که در مجموعه دوم که پیکانها به سمت آن وارد می شود ، برای هر عضو مجموعه پایانی (دوم) حداکثر و فقط و فقط یک پیکان وارد شود .

مثال 1:

تابع با نمودار بالا یک تابع یک به یک است چرا که در مجموعه پایانی (مجموعه B ) برای هر عضو آن فقط یک پیکان ورودی داریم .

مثال 2: تابع زیر با نمودار مشخص شده یک به یک نیست زیرا در مجموعه پایانی برای یکی از اعضا دو پیکان ورودی داریم .

3-تعریف تابع یک به یک از لحاظ ریاضی :اگر A  مجموعه اعداد و B  مجموعه اعداد دوم باشد و f تابعی باشد از مجموعه A  به مجموعه B  آنگاه این تابع را یک به یک می گوییم هر گاه

f(x)=f(x’)  è x=x’

مثال 1 : آیا تابع با ضابطه y=3x+2  یک به یک است ؟

جواب :

f(x)=f(x’)è 3x+2=3x’+2   è 3x=3x’ è x=x’

پس تابع یک به یک است .

مثال 2: آیا تابع با ضابطه زیر یک به یک است؟

از دو زوج مرتب بدست آمده بالا مشخص است که تابع یک به یک نیست .

چرا که هر گاه متغیر x  را برابر 1 فرض کنیم مطابق ضابطه اول تعریف تابع آنگاه متغیر  y=1  خواهد شد و هر گاه متغیر x  را برابر یک دوم ½  فرض کنیم آنگاه مطابق ضابطه دوم تعریف تابع باز هم Y=1  خواهد شد .

دامنه و برد تابع

دامنه تابع

تعریف دامنه تابع : اگر A  و B  دو مجموعه  اعداد باشند و f  تابعی از A  به B  باشد ، مجموعه تمام مولفه های اول ، زوجهای مرتب (x,y)  متعلق به تابع f   را دامنه تابع می نامیم

مثال : در تابع f={(1,2),(2,3),(5,7)}   مجموعه {1,2,5}  یعنی مجموعه مولفه های اول زوج مرتب را دامنه تابع می گوییم .

البته تعریف بالا زمانی کاربرد دارد که ما بتوانیم تابع را بصورت زوج های مرتب محدود نمایش دهیم . اما ، همیشه در ریاضی نمی توان چنین زوج های مرتب محدود داشت و ممکن است ما با تابعی مواجه شویم که دارای زوج های مرتب بی نهایت باشد . اینجاست که ما باید تعریف دیگری ارایه دهیم .

تعریف ریاضی و جامع دامنه تابع

اگر f  تابعی از مجموعه A  به مجموعه B  باشد . به ازای تمامی اعضایی از مجموعه A  که تابع ما معین و دارای جواب باشد ، دامنه تعریف تابع می گوییم .

قوانین محاسبه دامنه تابع

1-توابع کسری : دامنه توابع کسری ، در واقع مجموعه جواب تابع کسری است . یعنی تابع کسری زمانی جواب دارد که مخرج آن نامساوی صفر باشد .

برای ادامه مطلب از سایت اصلی ما مطلب را پی گیری کنید برروی همین لینک کلیک کنید.

تعریف تابع

فرض کنیم x   زمانی باشدکه از لحظه پرتاب یک سفینه فضایی می گذرد ، و y   مکانی باشد که سفینه در این زمان در آنجا قرار دارد ، واضح است که x   ( زمان ) در هر لحظه مقدار منحصر به فردی دارد . اما موقعیت مکانی سفینه y   می تواند تکراری باشد . یعنی اگر در زمان 2 بعد از ظهر سفینه در مکان 700 کیلومتری باشد ، پس از طی زمانی مثلا در ساعت 8  شب می تواند دوباره به همان مکان بازگردد . حال اگر ما زمان و موقعیت زمانی سفینه را بصورت زوج مرتب (x,y)   نمایش دهیم . خواهیم داشت .که  x  همواره مقدار منحصر به فردی است .اما y  می تواند تکراری باشد و جالب اینجاست که اگر x  تکراری باشد پس حتما y  هم باید تکراری باشد .

اکنون با این مقدمه تعریف تابع از چند لحاظ مطرح می کنیم .

1-تعریف تابع از لحاظ زوج مرتب  

یک تابع مجموعه ای از زوج مرتب است ، که در آن هیچ دو زوج مرتبی دارای مولفه اول یکسان نباشند در غیر این صورت اگر مولفه های اول یکسان باشند آنگاه مولفه های دوم هم حتما باید مساوی باشند .

مثال 1 : آیا { (3,4),(7,6),(1,2)}  این رابطه یک تابع است ؟

جواب :بله یک تابع است . چون در تمام زوجهای مرتب بالا عناصر اول منحصر به فرد هستند و یکسان نیستند

مثال 2:آیا {(1,2),(1,2),(3,4),(5,9)} این رابطه یک تابع است ؟

جواب : بله تابع است . اگر چه دارای زوج مرتب با عناصر یکسان و تکراری است ، اما عناصر دوم این زوجهای مرتب نیز مساوی هستند .

مثال 3 : آیا { (1,2),(1,4),(3,2)} این رابطه یک تابع است ؟

جواب : خیر تابع نیست . چون دو زوج مرتب دارد که مولفه های اول آنها یکسان است اما مولفه های دوم آنها  یکسان نیست .

2-تعریف تابع بصورت نمودار ون

هر گاه در نموداری ، A  مجموعه  اول و B  مجموعه  دوم باشد و پیکانهایی از مجموعه A  به مجموعه B  داشته باشیم . این نمودار نمایش دهنده تابع است ، هر گاه از هر عنصر مجموعه A  فقط یک پیکان به سمت مجموعه B  داشته باشیم .

نکته 1: در این نمودار از برخی عناصر مجموعه A  ممکن است هیچ پیکانی خارج نشود ، در اینصورت اگر شرط بالا صادق باشد ، نمودار تابع است .

مثال 1 : نمودار زیر یک تابع است ، چرا که از هر عنصر مجموعه A  فقط یک پیکان خارج شده است .

 

مثال 2 : نمودار زیر تابع است . زیرا از هر عنصر مجموعه  A  فقط یک پیکان خارج شده است و همچنین طبق نکته گفته شده ( نکته با رنگ سبز) از یکی از عناصر هیچ پیکانی خارج نشده است .

مثال 3 : نمودار زیر تابع نیست . چون از یکی ، از عناصر مجموعه  اول دو پیکان خارج شده است .

3- تعریف تابع از دیدگاه ریاضی با ضابطه

اگر فرض کنیم A  و B  دو مجموعه  باشند آنگاه f  را تابعی از مجموعه A  به مجموعه B  می گویند .هر گاه به ازای هر عضو x  از مجموعه A  عضو منحصر به فردی مانند  y  از مجموعه B  نسبت داده شود . و چنانچه عضو y  منحصر به فرد نباشد ( تکراری باشد ) پس عنصر x  هم باید تکراری یا یکسان باشد و تابع را به صورت                        y=f(x)    نمایش می دهیم .

نکته 2 :با بیان ریاضی چگونه می توان فهمید که یک ضابطه f  از A  به B  تابع است ؟

جواب آن به این شکل است . که اگر  f   یک ضابطه از A  به B  است . آنگاه خواهیم داشت :

(x,y)   زوج مرتب متعلق به ضابطه f

(x,y’)  زوج مرتب دیگری که باز هم متعلق به ضابطه f است .

اکنون از دو زوج مرتب بالا ، چون دو هر دو زوج مرتب مولفه های اول یکسان هستند پس مولفه های دوم نیز باید یکسان باشند یعنی    y=y’

مثال 1 : آیا  y=2x+1   تابع است ؟

جواب : اگر (x,y)  زوج مرتب باشد آنگاه ضابطه ما همان  y=2x+1

         اگر (x,y’)  زوج مرتب دیگری باشد آنگاه ضابطه ما  y’=2x+1 خواهد بود

حالا چون در دو زوج مرتب بالا مولفه های اول یکسان هستند باید ثابت کنیم مولفه های دوم نیز یکسان هستند

 پس داریم :

پس ضابطه بالا تابع است .

اگر  x  در هر دو زوج مرتب یکسان باشد از رابطه بالا داریم که

 

اما  y , y’  مساوی نیستند پس ضابطه بالا تابع نیست