تابع یک به یک

تابع یک به یک

1-تعریف تابع از دیدگاه زوج مرتب :فرض کنید زوج مرتبی داریم از مجموعه A  به مجموعه B  ، این زوج مرتب را نمایش دهنده یک تابع یک به یک می گوییم هر گاه که مولفه های دوم زوجهای مرتب یکسان نباشند ،  و اگر یکسان باشند باید حتما مولفه های دوم نیز یکسان باشند .

مثال 1: تابع با زوج مرتب f={ (1,5),(3,6),(4,9)}  یک تابع یک به یک است . زیرا هیچ کدام از زوجهای مرتب دارای مولفه های دوم یکسان نیستند .

مثال 2:تابع با زوج مرتب f={(1,5),(3,6),(4,8),(3,6)}   یک تابع یک به یک است ، زیرا دو زوج مرتب که دارای  مولفه های دوم یکسان هستند ، مولفه های اول آنها نیز یکسان است .

2-تعریف تابع یک به یک از دیدگاه نمودار ون :از دیدگاه نمودار ون تابعی یک به یک است که در مجموعه دوم که پیکانها به سمت آن وارد می شود ، برای هر عضو مجموعه پایانی (دوم) حداکثر و فقط و فقط یک پیکان وارد شود .

مثال 1:

تابع با نمودار بالا یک تابع یک به یک است چرا که در مجموعه پایانی (مجموعه B ) برای هر عضو آن فقط یک پیکان ورودی داریم .

مثال 2: تابع زیر با نمودار مشخص شده یک به یک نیست زیرا در مجموعه پایانی برای یکی از اعضا دو پیکان ورودی داریم .

3-تعریف تابع یک به یک از لحاظ ریاضی :اگر A  مجموعه اعداد و B  مجموعه اعداد دوم باشد و f تابعی باشد از مجموعه A  به مجموعه B  آنگاه این تابع را یک به یک می گوییم هر گاه

f(x)=f(x’)  è x=x’

مثال 1 : آیا تابع با ضابطه y=3x+2  یک به یک است ؟

جواب :

f(x)=f(x’)è 3x+2=3x’+2   è 3x=3x’ è x=x’

پس تابع یک به یک است .

مثال 2: آیا تابع با ضابطه زیر یک به یک است؟

از دو زوج مرتب بدست آمده بالا مشخص است که تابع یک به یک نیست .

چرا که هر گاه متغیر x  را برابر 1 فرض کنیم مطابق ضابطه اول تعریف تابع آنگاه متغیر  y=1  خواهد شد و هر گاه متغیر x  را برابر یک دوم ½  فرض کنیم آنگاه مطابق ضابطه دوم تعریف تابع باز هم Y=1  خواهد شد .